Du bist falsch vorgegangen. Du darfst nach gängiger Regel den Zahnarzt in diesem Fall nicht einfach wechseln und die Kosten in Rechnung stellen. Gewährleistung wird nur geleistet, wenn du dem selben Zahnarzt die Gewährleistung auch durchführen lässt. Ein Arztwechsel ist nur sehr selten möglich (Nachweis eines Vertrauensbruchs). Wenn du selbst entscheidest und zu einem anderen Zahnarzt gehst, verweigerst du dem Zahnarzt, der den Fehler gemacht hat, die Gewährleistung, was afaik ein Vertragsbruch ist und zum Verlust der Gewährleistung führen kann.
Ich war selbst mal in dieser misslichen Lage. Es ist unangenehm zu dem selben "Pfuscher" zurückzugehen, daran führt aber kaum ein Weg vorbei.
Der sinnvollste Weg bei einer fehlerhaften Behandlung ist imo zur Krankenkasse zu gehen; die erstellen im Zweifel eine Mängelrüge und schicken dich zu einem Gutachter. Der sieht sich das an und erstellt ein Gutachten (war bei mir alles for free), anhand dein Zahnarzt den Schaden beseitigen muss und das darf er 3mal!