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Intervallschachtelung der Eulerschen Zahl

BigBossBigge / 17 Antworten / Flachansicht Nickles

Hallo.

Ich halte am Donnerstag einen Vortrag über die Eulersche Zahl und habe darin u.a. den Auftrag bekommen eine Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl während der Präsentation vorzunehmen. Dazu hat mir der Lehrer eine Seite aus einem alten Mathebuch aus der DDR gegeben (Mathe 12), die ich hier hochgeladen habe:

www.ImageBanana.net - Mathebild0001.JPG und nochmal etwas kleiner: www.ImageBanana.net - Mathebild0002.jpg

Und nun folgendes Problem: Ich kann alle Schritte aus der Schachtelung nachvollziehen, ich weiß nur nicht, warum auf einmal die Funktion f(x)=1/x auftaucht. Ist die zufällig gewählt, oder hat die eine bestimmt Bedeutung (zum Beispiel als Umkehrung des Logarithmus oder so). Kurz darauf folgt ja dann auch schon die Folge 1+1/n. Ist diese auch zufällig gewählt, oder ist die irgendwie nachvollziehbar?

Ich hoffe, dass hier jemand von euch etwas Mathe-affin ist, aber ich denke mal schon ;-)

Vielen Dank für eure Hilfe, das wäre echt super, wenn ihr mir das etwas erläutern könntet.

Gruß,
BigBossBigge

So long ... BBB
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1/x ist die Ableitung von ln x und das Integral von 1/x ist ln x . Die obere ... Borlander
Vielen Dank, das hilft mir schon weiter. Also ist das wohl für die ... BigBossBigge
Hmm, e ist ja nicht nur eine tranzendente Zahl sondern auch die Basis der ... Xdata
Ach ja, wichtig ist noch die eminente bedeutung von e im zusammenhang mit ... Xdata
Die e-Funktion ist eine Wachstumskonstante in der Natur. Zum Beispiel ... KarstenW
Bei der Wachstumskonstante in der Natur kann ich zustimmen, das mit den ... gerhard38
und zwar umso langsamer ! , je länger die Haare sind Echt? Haare sind doch ... out-freyn
Echt? Haare sind doch totes Keratin - woher bekommt die Haarwurzel die ... gerhard38
Also in Bezug auf das exponentielle Wachstum sind wir einer Meinung, das ... out-freyn
Bei den Augenbrauen hört es nach einer bestimmten Dauer auf - und wenn man ... shrek3
Wo etwas zu wachsen aufhört ist eines der Rätsel der Biologie: Warum ... gerhard38
Jetzt ist alles geklärt. Ich weiß zwar nicht was meine spezielle Frage in ... BigBossBigge
Die Antworten von Borlander und Xdate genügen dir nicht? Gruß, Gerhard gerhard38
Doch, die genügen mir beide. Ich habe auch schon unter Borlanders Post ... BigBossBigge
gerhard38 BigBossBigge „Doch, die genügen mir beide. Ich habe auch schon unter Borlanders Post...“
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... 1/x ist einfach so hinzunehmen ...
Das ist eben nicht einfach so hinzunehmen (denke ich). Integral über eine Funktion bedeutet ja, dass man die Fläche unter der Kurve ermittelt, wobei die Integrationskonstante c dann durch Subtraktion wegfällt, wenn man die obere und untere Grenze des Integrals bestimmt.

Die Fläche unter der Hyperbel 1/x ist aber ln(x), und ln(x) bedeutet: Was muss ich in den Exponenten der Basis e schreiben, damit x herauskommt. Die Frage lautet jedoch nach einem Beweis für ln(e) = 1, und was dir da vorgeführt wird ist, wie man die eigentlich unanschauliche logarithmische Funktion ln(x) dadurch anschaulich macht, dass man sie als Fläche unter der Hyperbel 1/x interpretiert und mit den Flächen zweier Rechtecke vergleicht, wobei eines so groß ist, dass es von der oberen Grenze weggeht und das kleinere von der unteren. Der gesuchte Wert der Fläche für ln(x) muss da dazwischen liegen, wie man ja in der Zeichnung sieht.

Gruß, Gerhard

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Das Besondere an der Zahl e besteht auch darin, dass das Integral über e x ... Heliotrop
Aha, das leuchtet ein :- Jetzt ergibt die Wahl von 1/x also doch Sinn, denn ... BigBossBigge